平均值不等式的证明

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平均值不等式的证明

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平均值不等式的证明

柯西证明均值不等式的方法byzhangyuong (数学之家)

木文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法,这种方法极其重 要。一般的均值不等式我们通常考虑的是An Gn:—些大家都知道的 条件我就不写了

xl x2 ... xn

n xlx2...x n

我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法,现在

再次提出:

二维己证,四维时:

a b c d (a b) (c d) 2ab 2cd 4 八维时:

(a b c d) (e f g h) 4abcd 4efgh 8abcdefgh

abed

4abcd

这样的步骤重复n次之后将会得到

xl x2 ... x2n

2

平均值不等式的证明

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平均值不等式的证明

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n

xlx2...x2n

xn;xn 1 xn 2 ?.

xn;xn 1 xn 2 ?.? x2

n

xl x2 xn

n

A

由这个不等式有

A

nA (2 n)A

2

nn

1

2

n

xlx2..xnA

2 n n

(xlx2..xn)2A

平均值不等式的证明

平均值不等式的证明

n

n

平均值不等式的证明

平均值不等式的证明

11

11 a22

n2

n

即得到

xl x2 xn

n

n

xlx2...x n

这个归纳法的证明是柯西首次使用的,而且极其重要,下面给出几个

竞赛题的例子:

例1:

n

若0 ai l(i 22…,n)证明

i 1

11 ai

n

1

1 (ala2...an) n

例2:

若ri l(i 12…,n)证明

i 1

lri 1 n

1

(rlr2...rn) n

这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果,方法正是运用柯西的

归纳法:

给出例[的证明:

当n 2时11 al

11 a2

2

(1

al a2) 2(1 al)(l a2)

设 p al a2,q

(1 q)(2 P) 2(1 p q)

p 2q pq 2q p(l q) 2q(q 1) p 2q,而这是2元均值不等

式因此11 al

n

2

11 a3

11 a4

此过程进行下去

1

2

n

1

因此

i 1

1胡平均值不等式的证明}.

1 (ala2...a2n)2

n

1

(ala2...an )n G令 an 1 an 2 ... a2n

(ala2...an )n G

平均值不等式的证明

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平均值不等式的证明

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In

11 ai

11 ai

(2 n) n

11 G

n

2

n2 n

n

1

2

n

(GG

nl G

2

n

)

平均值不等式的证明

平均值不等式的证明

平均值不等式的证明

平均值不等式的证明

n

1 G

i 1

例3:

己知 5n 个实数 ri,si,ti,ui,vi 都 1(1 i n),记 R T

n

In

n

r,S

In

n

s

I

I

In

n

t,U

平均值不等式的证明

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平均值不等式的证明

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In n

,V

In

n

V,求证下述不等式成立:

i 1

(

risitiuivi lrisitiuivi 1

)(

RSTUV 1RSTUV 1

)

n

要证明这题,其实看样子很像上而柯西的归纳使用的形式

其实由均值不等式,以及函数f(x) In因此

e le 1

平均值不等式的证明

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n1

n

1

平均值不等式的证明

平均值不等式的证明

n1

n

1

X

是在R上单调递减

RSTUV

(

RSTUV 1RSTUV 1

)

n

我们要证明:

n

(rstuv

i 1

? ? ?

III

I

risitiuivi 1

I

1

)

证明以下引理:

(x{平均值不等式的证明}.

平均值不等式的证明

平均值不等式的证明

平均值不等式的证明

平均值不等式的证明

xi 1

1

x2 1x2 1

n

1

)

n 2时,(令A

xl lxl 1

)(

2

)2

A(xlx2 1 xl x2) (xl x2 1 xlx2)

2

(1 xlx2 xl x2)2A(xlx2 xl x2 1) A(xlx2 1 xl x2)

(1 xlx2 xl x2)

2A(xlx2 1 xl x2)

(A l)(xlx2 1) 2A(xlx2 1)显然成立 n

n

2

平均值不等式的证明

平均值不等式的证明

2

2

平均值不等式的证明

平均值不等式的证明

2

2

1

xi lxi 1

2

n

)(

G 1G 1

)

2 n

n

(

GGGG

n

n

2

n

n

1 1

2 n2

n

),G

平均值不等式的证明

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)2f(

)2f(

平均值不等式的证明

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)2f(

)2f(

G 1G 1

n

)

因此(

1

xi lxi 1

n

)

所以原题目也证毕了

这种归纳法威力十分强大,用同样方法可以证明Jensen:

f(xl) f(x2)

2

f(

xl x2

2

),则四维:

f(xl) f(x2) f(x3) f(x4) 2f(

xl x2

2

x3 x4

平均值不等式的证明

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平均值不等式的证明

平均值不等式的证明

f(x2n)xn;xn 1 xn 2

f(x2n)

xn;xn 1 xn 2 x2

2

)4f(

xl x2 x3 x4

4

)

一直进行n次有

f(xl) f(x2) ...

2

n

f(

xl x2 x2n

2

n

),

令 xl xl,...,xn

n

xl x2 xn f(xl) f(xn) (2 n)f(A)

2

n

n

f(

nA (2 n)A

2

n

)f(A)

所以得到

f(xl) f(x2) ... f(xn)

f(

xl x2 xn

n

)

所以基木上用Jensen证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明

而且有些时候这种归纳法比Jensen的限制更少

其实从上而的看到,对于形式相同的不等式,都可以运用归纳法证明 这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件篇二:《用数学归纳法 证明平均值不等式》

用数学归纳法证明平均值不等式

【摘要】木文尝试用数学归纳法从不同角度对平均值不等式进行了证 明,进一步体现了均值不等式证法的多样性。{平均值不等式的证明}.

【关键词】平均值不等式数学归纳法

一、引言

不等式历来是中学数学教学的重要内容。不等式涉及数量之间大小的 比较,通过比较常能显出变量变化之间相互制约的关系,因而从某种 意义上说,不等式的探讨在数学中甚至比等式的推演更为重要。木文 试探讨一种比较特殊而又著名的不等式“平均值不等式”。这种不等式 不仅木身颇为有用,而且它的证法也可作进一步熟练不等式证明技巧 之用,而且它在中学数学中有着更为广泛的应用。特别在高中数学中, 我们频繁地接触到此类不等式的简化形式(如平均值不等

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