平均值不等式的证明
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平均值不等式的证明
柯西证明均值不等式的方法byzhangyuong (数学之家)
木文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重 要。一般的均值不等式我们通常考虑的是An Gn:—些大家都知道的 条件我就不写了
xl x2 ... xn
n xlx2...x n
我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在
再次提出：
二维己证，四维时：
a b c d (a b) (c d) 2ab 2cd 4 八维时：
(a b c d) (e f g h) 4abcd 4efgh 8abcdefgh
abed
4abcd
这样的步骤重复n次之后将会得到
xl x2 ... x2n
2
平均值不等式的证明
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n
xlx2...x2n
xn;xn 1 xn 2 ?.
xn;xn 1 xn 2 ?.? x2
n
xl x2 xn
n
A
由这个不等式有
A
nA (2 n)A
2
nn
1
2
n
xlx2..xnA
2 n n
(xlx2..xn)2A
平均值不等式的证明
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n
n
平均值不等式的证明
平均值不等式的证明
11
11 a22
n2
n
即得到
xl x2 xn
n
n
xlx2...x n
这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个
竞赛题的例子：
例1:
n
若0 ai l(i 22…,n)证明
i 1
11 ai
n
1
1 (ala2...an) n
例2：
若ri l(i 12…,n)证明
i 1
lri 1 n
1
(rlr2...rn) n
这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的
归纳法：
给出例［的证明：
当n 2时11 al
11 a2
2
(1
al a2) 2(1 al)(l a2)
设 p al a2,q
(1 q)(2 P) 2(1 p q)
p 2q pq 2q p(l q) 2q(q 1) p 2q,而这是2元均值不等
式因此11 al
n
2
11 a3
11 a4
此过程进行下去
1
2
n
1
因此
i 1
1胡平均值不等式的证明｝.
1 (ala2...a2n)2
n
1
(ala2...an )n G令 an 1 an 2 ... a2n
(ala2...an )n G
平均值不等式的证明
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平均值不等式的证明
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In
11 ai
11 ai
(2 n) n
11 G
n
2
n2 n
n
1
2
n
(GG
nl G
2
n
)
平均值不等式的证明
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平均值不等式的证明
n
1 G
即
i 1
例3：
己知 5n 个实数 ri,si,ti,ui,vi 都 1(1 i n),记 R T
n
In
n
r,S
In
n
s
I
I
In
n
t,U
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In n
,V
In
n
V,求证下述不等式成立：
i 1
(
risitiuivi lrisitiuivi 1
)(
RSTUV 1RSTUV 1
)
n
要证明这题，其实看样子很像上而柯西的归纳使用的形式
其实由均值不等式，以及函数f(x) In因此
e le 1
平均值不等式的证明
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n1
n
1
平均值不等式的证明
平均值不等式的证明
n1
n
1
X
是在R上单调递减
RSTUV
(
RSTUV 1RSTUV 1
)
n
我们要证明：
n
(rstuv
i 1
? ? ?
III
I
risitiuivi 1
I
1
)
证明以下引理：
(x｛平均值不等式的证明｝.
平均值不等式的证明
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平均值不等式的证明
平均值不等式的证明
xi 1
1
x2 1x2 1
n
1
)
n 2时，(令A
xl lxl 1
)(
2
)2
A(xlx2 1 xl x2) (xl x2 1 xlx2)
2
(1 xlx2 xl x2)2A(xlx2 xl x2 1) A(xlx2 1 xl x2)
(1 xlx2 xl x2)
2A(xlx2 1 xl x2)
(A l)(xlx2 1) 2A(xlx2 1)显然成立 n
n
2
因
平均值不等式的证明
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2
2
平均值不等式的证明
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2
2
1
xi lxi 1
2
n
)(
G 1G 1
)
2 n
n
(
GGGG
n
n
2
n
n
1 1
2 n2
n
)，G
平均值不等式的证明
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)2f(
)2f(
平均值不等式的证明
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)2f(
)2f(
G 1G 1
n
)
因此(
1
xi lxi 1
n
)
所以原题目也证毕了
这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明Jensen:
f(xl) f(x2)
2
f(
xl x2
2
),则四维：
f(xl) f(x2) f(x3) f(x4) 2f(
xl x2
2
x3 x4
平均值不等式的证明
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f(x2n)xn;xn 1 xn 2
f(x2n)
xn;xn 1 xn 2 x2
2
)4f(
xl x2 x3 x4
4
)
一直进行n次有
f(xl) f(x2) ...
2
n
f(
xl x2 x2n
2
n
),
令 xl xl,...,xn
n
xl x2 xn f(xl) f(xn) (2 n)f(A)
2
n
n
f(
nA (2 n)A
2
n
)f(A)
所以得到
f(xl) f(x2) ... f(xn)
f(
xl x2 xn
n
)
所以基木上用Jensen证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明
而且有些时候这种归纳法比Jensen的限制更少
其实从上而的看到，对于形式相同的不等式，都可以运用归纳法证明 这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件篇二：《用数学归纳法 证明平均值不等式》
用数学归纳法证明平均值不等式
【摘要】木文尝试用数学归纳法从不同角度对平均值不等式进行了证 明，进一步体现了均值不等式证法的多样性。｛平均值不等式的证明｝.
【关键词】平均值不等式数学归纳法
一、引言
不等式历来是中学数学教学的重要内容。不等式涉及数量之间大小的 比较，通过比较常能显出变量变化之间相互制约的关系，因而从某种 意义上说，不等式的探讨在数学中甚至比等式的推演更为重要。木文 试探讨一种比较特殊而又著名的不等式“平均值不等式”。这种不等式 不仅木身颇为有用，而且它的证法也可作进一步熟练不等式证明技巧 之用，而且它在中学数学中有着更为广泛的应用。特别在高中数学中, 我们频繁地接触到此类不等式的简化形式（如平均值不等
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